9.Предикаты. Область истинного предиката. Взаимосвязь логических операций и операций над множествами.

Предикаты – языковые выражения, содержащие неопределенную часть, которая при определении неизвестной части этой, становится высказыванием.

любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.

Кроме высказываний, рассматриваются также высказывания с переменными, т.е. буквами, вместо которых можно подставлять определенные значения (например, числа). Если вместо всех переменных подставить их значения, то высказывание с переменными превратится в обычное высказывание.

Например, рассмотрим высказывание с переменной  .  — истинное высказывание,  — ложное высказывание.

Те наборы значений переменных, при которых получается истинное высказывание, образуют область истинности высказывания с переменными.

Определение. Предикат — это высказывание с переменными.

Пример. Область истинности предиката   —  ; предиката   —  ; предиката   — на рис. 1:

Рис. 1

Область истинности предиката  , где  — свободные переменные,   — связанная переменная, изображена на следующие рис. 2:

Рис. 2

Область истинности предиката   изображена на рис. 3 (оси координат не включаем):

Рис. 3

Область истинности предиката   изображена на рис. 4:

Рис. 4

Если в предикаты   и   входят одни и те же переменные, то область истинности предиката   есть пересечение, а область истинности предиката   — объединение областей истинности данных предикатов.

Пусть есть множество М и есть некоторое выражение Р(х) Р от х. 1 и О. Верно или неверно выражение.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Примеры высказываний:

1. Сегодня светит солнце.

2. Трава растет.

Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта (в пермом предложении - погоды, во втором - окружающего мира). Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь».

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.

Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные - логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных: 

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанныхлогическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.