Сложности, связанные с моделированием

Памятуя афоризм Найвена; «Нет такого благородного дела, к которому не пристали бы дураки», – к использованию математических моделей следует подходить с определенной осторожностью.

Первая и самая общая предосторожность вытекает из поговорки «Что посеешь – то и пожнешь»: модель не может быть лучше заложенных в нее исходных допущений. В частности, и рассуждение, которое, будучи выражено на естественном языке, не имеет смысла, не станет более осмысленным, если его перевести в математическую форму. Всегда важно помнить, что математика эффективна только как средство получения логических выводов из исходных допущений, а отсюда и валидность модели зависит не от математического аппарата, а от этих самых допущений.

Бывают случаи, когда для успешного применения той или иной мощной методики необходимо упростить исходные допущения, но даже подобное упрощение должно проходить проверку практикой и здравым смыслом. Если модель основана на ложных исходных допущениях, то это не значит, что и выводы ее будут ложными, но значит, что валидность этих выводов никоим образом не может быть отнесена на счет исходных допущений⁶.

Самый частый недостаток, с которым приходится сталкиваться в моделях, – это сверхупрощенные исходные допущения. Эйнштейну приписывается утверждение: «Модели должны быть простыми, насколько это возможно... но не более того». Конечно, упрощение является целью любой математической модели, но только до тех пор, покуда модель как целое продолжает отражать основные процессы, составляющие ее объект. Почти во всех случаях бывают такие ситуации, когда модель в силу своей упрощенности дает сбой. К примеру, модель Ричардсона гонки вооружений не работает в ситуациях, связанных с ядерным оружием, поскольку ядерное оружие, представляя собой весьма действенную и к тому же неограниченную угрозу для противника, не предполагает крупных экономических расходов. В таких случаях важно, чтобы разработчик модели указал, каковы ожидаемые пределы применения модели. Эти ограничения, следует отметить, носят тот же характер, что и в естественных науках: различные химические реакции происходят, согласно предписанию, только при соблюдении немалого числа условий – при определенной температуре, давлении, влажности и т.п.

Модель обязательно должна проходить экспериментальную проверку, если только она не задана исчерпывающим образом с помощью своих исходных допущений. В большинстве случаев в модель входят параметры, подлежащие внешней оценке, или исходные допущения о действительности, подлежащие верификации. Здесь мы видим еще один способ проверки исходных допущений на валидность: если модель, будучи корректной, с логической точки зрения, дает ложные результаты, то из этого следует, что ложны, должно быть, ее исходные допущения.

Наконец, выданные моделью результаты должны быть правильно переведены на естественный язык. Обычная ошибка при моделировании состоит в том, что исследователь начинает «в лоб» трактовать результаты, полученные от достаточно узкой модели, тем самым переоценивая общность ее выводов. Это распространеннейшая людская слабость – чрезмерное увлечение своим творением и приписывание ему большего, нежели то, на что оно реально способно; среди математиков это явление известно как «синдром Пигмалиона». Средства массовой информации также склонны время от времени выказывать интерес к методам моделирования, приписывая им всевозможные чудодейственные свойства. Такой обработке лет десять назад подверглась второстепенная топологическая методика, носящая название теории катастроф и претендовавшая на умение предсказывать резкие изменения в социальных и биологических системах. То же самое имело место и с узким разделом теории вероятностей, известным под названием теории размытых множеств, в рамках которого допускается описание свойств объекта в терминах «очень большой» и «маловатый», наряду с более простыми «большой» и «маленький». Предусмотрительному исследователю, вознамерившемуся использовать математическую модель, можно посоветовать предварительно убедиться в том, что результаты, на которые претендует данная теория, действительно выводятся из ее исходных предположений (если принять их на веру) без апелляции к каким-либо дополнительным допущениям и бездоказательным скачкам в рассуждениях.